空間内で，立体イメージを，答えを予想しながら解く，
ということにポイントを当てた解説です。
まだ合格発表がなされないうちに，Grapes3Dで作っちゃった。。。。。
こんな感じのアニメ。
2016年2月28日日曜日
東京大学 2016 理系の３番の問題
http://www.synapse.ne.jp/dozono/math/anime/toudai2016-3/toudai-2016-3.htm
空間内で，立体イメージを，答えを予想しながら解く，
ということにポイントを当てた解説です。
まだ合格発表がなされないうちに，Grapes3Dで作っちゃった。。。。。
こんな感じのアニメ。
空間内で，立体イメージを，答えを予想しながら解く，
ということにポイントを当てた解説です。
まだ合格発表がなされないうちに，Grapes3Dで作っちゃった。。。。。
こんな感じのアニメ。
2013年2月24日日曜日
新作問題 2013バージョン
いよいよ二次試験（前期日程）である。
これまで，1月のセンター試験を乗り越え，1月末から2月には二次対策を順調に終え，
ホントの試験が，明日に迫ってきた。
みんなの合格を祈りたい。
さて，
先日，予想問題を作成して，新作で「結構」「素敵」なものが出来上がったのでアピールする。
ぜーったいどこかの大学で，明日出題されてると思うけどなぁ・・・
【問題】～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
4人が無作為に数字を一つずつ千の位，百の位，十の位，一の位の順に言い
4桁の整数を作る。全員が異なる数字で，2001に最も近い整数は何か答えよ。
また，100! はその整数で割り切れるか調べよ。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
【いきさつ】
対策授業をやっていて，最後にテストをやろうかと考え，新作問題を考えていた。
ふと，よく出る問題で，今年の西暦を利用した問題を考えてみた。
整数問題によく使われる素材である。
【私の頭の中の流れ】
なんだか，2013は素数っぽさがあるけれど，
桁をすべて足し合わせると 2+0+1+3=6 と3の倍数になり，3で割り切れ，
素数ではないことがすぐに分かる。
その商がやたら大きい素数なら面白くもないが，3で割ると671となる。
671ってのは，660+11ぐらいは，なんとか考えられるかも？
11で割り切れることも，ちょっと考えればなんとか分かるんじゃない？。
671を11で割ると61の素数だ。つまり、2013の素因数分解は 3×11×61 だ。
さて，これをどう扱うか。
因数分解させて，3と11と61の積から満たす自然数の組，って方針も良さそうだが・・・
まてよ，
2013ってのは，全部異なる数字だなぁ
他に異なる数字って何だ？
2014は当たり前だけど，その前は？
2012も2011も2010も
200*は，全部だめ
199*はだめ
チューことは，198*だ。
ん？対称性もありそうな予感。2000の前後はどうだ？
お！意外に面白そうな感じ。
じゃ，簡単に異なる数を探させといて，約分可能性にしちゃおうかな？
ってな感じの思考回路。
【おまけ】
大きな素数同士による合成数の素因数分解は非常に困難である。
これを利用して多くの暗号アルゴリズムにおいて，大きな素数による合成数が利用されている。
公開鍵と秘密鍵と言われているアレだ。
大きな素数といえばメルセンヌ素数が有名だ。
先日，新巨大素数が見つかったとのニュース報道もあった。
マラン・メルセンヌは，2^n-1 に対してnが257以下のとき、n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257のときにのみ素数となると考えたが，一部に間違いがあることが分かり，n = 61, 89, 107のときも素数であり，しかし，n = 67, 257のときは，素数ではなく合成数であった。
特に，素数であるメルセンヌ数をメルセンヌ素数（Mersenne prime）という。
数学的に，
「Mn が素数ならば n は素数である」が，「n が素数であっても Mn は素数とは限らない。」
（逆は必ずしも真ならずの良い例である。）
前者の対偶である命題「n が合成数ならば Mn は合成数である」は，次の式から示される。
2＾ab − 1 = (2＾a − 1){1 + 2＾a + 2＾2a + ... + 2＾(b−1)a}
（これは簡単に理解できる面白さがある。）
という性質は，重要である。
念のため，2013のチェックも行った。
WolframAlpha のサイトは，面白い。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2013
【解答】～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
2000の前後では，1987と2013がいえるが，2001に最も近いのは，2013である。
また，2013＝3×11×61であるため，100! を約分することができ，割り切れる。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
以上。
これまで，1月のセンター試験を乗り越え，1月末から2月には二次対策を順調に終え，
ホントの試験が，明日に迫ってきた。
みんなの合格を祈りたい。
さて，
先日，予想問題を作成して，新作で「結構」「素敵」なものが出来上がったのでアピールする。
ぜーったいどこかの大学で，明日出題されてると思うけどなぁ・・・
【問題】～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
4人が無作為に数字を一つずつ千の位，百の位，十の位，一の位の順に言い
4桁の整数を作る。全員が異なる数字で，2001に最も近い整数は何か答えよ。
また，100! はその整数で割り切れるか調べよ。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
【いきさつ】
対策授業をやっていて，最後にテストをやろうかと考え，新作問題を考えていた。
ふと，よく出る問題で，今年の西暦を利用した問題を考えてみた。
整数問題によく使われる素材である。
【私の頭の中の流れ】
なんだか，2013は素数っぽさがあるけれど，
桁をすべて足し合わせると 2+0+1+3=6 と3の倍数になり，3で割り切れ，
素数ではないことがすぐに分かる。
その商がやたら大きい素数なら面白くもないが，3で割ると671となる。
671ってのは，660+11ぐらいは，なんとか考えられるかも？
11で割り切れることも，ちょっと考えればなんとか分かるんじゃない？。
671を11で割ると61の素数だ。つまり、2013の素因数分解は 3×11×61 だ。
さて，これをどう扱うか。
因数分解させて，3と11と61の積から満たす自然数の組，って方針も良さそうだが・・・
まてよ，
2013ってのは，全部異なる数字だなぁ
他に異なる数字って何だ？
2014は当たり前だけど，その前は？
2012も2011も2010も
200*は，全部だめ
199*はだめ
チューことは，198*だ。
ん？対称性もありそうな予感。2000の前後はどうだ？
お！意外に面白そうな感じ。
じゃ，簡単に異なる数を探させといて，約分可能性にしちゃおうかな？
ってな感じの思考回路。
【おまけ】
大きな素数同士による合成数の素因数分解は非常に困難である。
これを利用して多くの暗号アルゴリズムにおいて，大きな素数による合成数が利用されている。
公開鍵と秘密鍵と言われているアレだ。
大きな素数といえばメルセンヌ素数が有名だ。
先日，新巨大素数が見つかったとのニュース報道もあった。
マラン・メルセンヌは，2^n-1 に対してnが257以下のとき、n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257のときにのみ素数となると考えたが，一部に間違いがあることが分かり，n = 61, 89, 107のときも素数であり，しかし，n = 67, 257のときは，素数ではなく合成数であった。
特に，素数であるメルセンヌ数をメルセンヌ素数（Mersenne prime）という。
数学的に，
「Mn が素数ならば n は素数である」が，「n が素数であっても Mn は素数とは限らない。」
（逆は必ずしも真ならずの良い例である。）
前者の対偶である命題「n が合成数ならば Mn は合成数である」は，次の式から示される。
2＾ab − 1 = (2＾a − 1){1 + 2＾a + 2＾2a + ... + 2＾(b−1)a}
（これは簡単に理解できる面白さがある。）
という性質は，重要である。
念のため，2013のチェックも行った。
WolframAlpha のサイトは，面白い。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2013
【解答】～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
2000の前後では，1987と2013がいえるが，2001に最も近いのは，2013である。
また，2013＝3×11×61であるため，100! を約分することができ，割り切れる。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
以上。
2013年2月8日金曜日
2013センター試験数学 エピローグ
平成25年度センター試験が終わって3週間が経った。
もうそろそろ世の中も落ち着いてきたし，昨日は平均点も公表されたし，生徒たちも二次出願が終わって，センターを引きずることなく二次対策に入ったので，エピローグをやっとこさ書こうと思う。
まず，数学Ⅰ・A
何じゃあれは？ですね。怒りというか呆れというか・・・
昨年から比較して，平均点を20点下げる難化傾向にありました。
もうこうなると，予想が当たったか外れたか（多くは外れました）は問題ではないような気がします。
つまり，
年度によってこれだけの問題質の差を出すという事に，疑問を感じます。
まだ，予備校作問者のほうが，受験生を正しく読んでいる気がします。
ここからは推測で，
・作問担当に選出された新参の若手大学のセンセイ（おそらく幾何専門）が，頑張りすぎた。
・ありふれた候補問題よりも，新ピカの問題に注目が集まった。
・OB委員会も年度による平均の違いは問題ない，日本の数学力が・・・と勘違いした。
・過去は気にしないでよい，過去にとらわれる必要はない，との大局的な判断がなされた。
・結果，受験生の置いてきぼりが発生した。
・難化した
ではないだろうか。
だいたい，昨年と今年で平均点を20点も違える教科なんて他にないですよ。あり得ない。
【データ】H25.2.7発表
平成２５年度
数学I・数学Ａ 398,447 51.20 100 0 21.02
平成２４年度
数学I・数学Ａ 384,818 69.97 100 0 19.98
順番に，受験者数，平均点，最高点，最低点，標準偏差
ま，これによって生み出されることは，
・大学生の数学嫌いを増やす。
・世間の多くの数学教員のやる気を失わせる。
・数学力の低下が懸念される，との風潮が発生。
・真面目にやっても点が取れない教科，それが数学との認識が広がる。
ぐらいの悪循環ぐらいでしょう。
あーここまで書いて，胸のつっかえがちょっととれた気もする。ぜひセンター関係者にこのブログを見せてやりたいなぁ。これが現場ですよ。事件は会議室で起きてるんじゃないですよ。事件は教室で起きているんです！！！
一応，予想結果も書いとくと
2次関数＝最初から関数を与えてない！
図形と計量＝三角形の内接円
場合の数＝４桁の数
と，大はずれと言ってもいいでしょう。残念。
次に，数学Ⅱ・Bに関して。
こちらは至って平穏な出題。例年並みな，安心して取り組める問題だった。
平成２５年度
数学II・数学Ｂ 359,486 55.64 100 0 24.29
平成２４年度
数学II・数学Ｂ 349,438 51.16 100 0 19.90
同じく，昨日発表のデータから。
こっちも一応，予想結果も書いとくと
対数＝ないじゃん フレームから異なってる！
微積＝三次関数は当たってるが，接線と法線
数列＝隣接二項間じゃん！
ベクトル＝平面じゃん！
ってことで，大はずれと言えますね。残念。
ところで，センター試験の得点って，どーして受験者本人に知らせるのが，４月になってからなのでしょう？そのへんの予備校の民間業者なんて，３日ぐらいで全国３０万人のデータ集計できるのに，どーして優秀な公務員のそろっている入試センターが，こんなに遅くなるのでしょうか？
なんで，自分の得点は自己採点で出願させるような，受験生任せの無責任なことするのでしょうか？あなたの得点は，こんなもんでした。とハガキに打ち出して送るだけじゃないのかな？責任逃れなのかなぁ？
どなたか，この疑問に政治力学的？な正しい解答を教えてもらえませんでしょうか？
もうそろそろ世の中も落ち着いてきたし，昨日は平均点も公表されたし，生徒たちも二次出願が終わって，センターを引きずることなく二次対策に入ったので，エピローグをやっとこさ書こうと思う。
まず，数学Ⅰ・A
何じゃあれは？ですね。怒りというか呆れというか・・・
昨年から比較して，平均点を20点下げる難化傾向にありました。
もうこうなると，予想が当たったか外れたか（多くは外れました）は問題ではないような気がします。
つまり，
年度によってこれだけの問題質の差を出すという事に，疑問を感じます。
まだ，予備校作問者のほうが，受験生を正しく読んでいる気がします。
ここからは推測で，
・作問担当に選出された新参の若手大学のセンセイ（おそらく幾何専門）が，頑張りすぎた。
・ありふれた候補問題よりも，新ピカの問題に注目が集まった。
・OB委員会も年度による平均の違いは問題ない，日本の数学力が・・・と勘違いした。
・過去は気にしないでよい，過去にとらわれる必要はない，との大局的な判断がなされた。
・結果，受験生の置いてきぼりが発生した。
・難化した
ではないだろうか。
だいたい，昨年と今年で平均点を20点も違える教科なんて他にないですよ。あり得ない。
【データ】H25.2.7発表
平成２５年度
数学I・数学Ａ 398,447 51.20 100 0 21.02
平成２４年度
数学I・数学Ａ 384,818 69.97 100 0 19.98
順番に，受験者数，平均点，最高点，最低点，標準偏差
ま，これによって生み出されることは，
・大学生の数学嫌いを増やす。
・世間の多くの数学教員のやる気を失わせる。
・数学力の低下が懸念される，との風潮が発生。
・真面目にやっても点が取れない教科，それが数学との認識が広がる。
ぐらいの悪循環ぐらいでしょう。
あーここまで書いて，胸のつっかえがちょっととれた気もする。ぜひセンター関係者にこのブログを見せてやりたいなぁ。これが現場ですよ。事件は会議室で起きてるんじゃないですよ。事件は教室で起きているんです！！！
一応，予想結果も書いとくと
2次関数＝最初から関数を与えてない！
図形と計量＝三角形の内接円
場合の数＝４桁の数
と，大はずれと言ってもいいでしょう。残念。
次に，数学Ⅱ・Bに関して。
こちらは至って平穏な出題。例年並みな，安心して取り組める問題だった。
平成２５年度
数学II・数学Ｂ 359,486 55.64 100 0 24.29
平成２４年度
数学II・数学Ｂ 349,438 51.16 100 0 19.90
同じく，昨日発表のデータから。
こっちも一応，予想結果も書いとくと
対数＝ないじゃん フレームから異なってる！
微積＝三次関数は当たってるが，接線と法線
数列＝隣接二項間じゃん！
ベクトル＝平面じゃん！
ってことで，大はずれと言えますね。残念。
ところで，センター試験の得点って，どーして受験者本人に知らせるのが，４月になってからなのでしょう？そのへんの予備校の民間業者なんて，３日ぐらいで全国３０万人のデータ集計できるのに，どーして優秀な公務員のそろっている入試センターが，こんなに遅くなるのでしょうか？
なんで，自分の得点は自己採点で出願させるような，受験生任せの無責任なことするのでしょうか？あなたの得点は，こんなもんでした。とハガキに打ち出して送るだけじゃないのかな？責任逃れなのかなぁ？
どなたか，この疑問に政治力学的？な正しい解答を教えてもらえませんでしょうか？
2013年1月20日日曜日
2013センター試験数学 大予想！
今年もやってきました。
あと１２時間もすれば，センター試験数学スタートです。
大胆にも，何の役に立つのか不明ですが，更に何の意味があるのか？予想してみました。
昨年は，中ハズシをしてるので，今年は小ハズシで止めたいと思いつつ，
しかし，細かく書いてみました。。。。
自分の中で”雰囲気”を”気分的”に”テキトー”に踏まえて，なんと，今年はコレが出る！
（近日中に，具体的な当たりはずれをお届けいたします。）
-------------------------------------------------------------------
2013センター試験数学 大胆予想
数学ⅠA
第１問
〔１〕 ｢方程式・不等式｣
有理化の複雑なパターン
無理数のおよその値がどういった整数部分と小数部分に分割されるか。たとえば３√３のような，√２７にしなければならないような判断できないようなもの
〔２〕 「集合・論理」
真偽の判定
集合的な要素
数直線上で解決する
絶対値の必要条件，十分条件
第２問 「2次関数」
下に凸な放物線を平行移動し，ｘ軸との交点を求めさせる
判別式で解くか＜頂点のｙ座標で解くか。
ｘ軸との交点の差（距離）が，一定の値以下（たとえば２より小さくなる）となるｋの値の範囲を求めさせる
第３問 「図形と計量・平面図形」
円に内接する四角形
正弦定理と余弦定理の基本的出題
９０°から直径を探させ，新たな円が見える
最後は方べきの定理と相似図形との融合での長さを求めさせる
第４問 「場合の数・確率」
くじ引きと数直線上の動き
いわゆるランダムウォーク
くじ引きで１等なら＋３
２等なら＋２
３等なら＋１
はずれならー１
何回中何回出るかによって様々なパターンを持つ
最終的には期待値で，くじ引きを５回行うときにどの位置にいる可能性が高いか。
数学ⅡB
第１問
〔１〕 「対数関数」
いわゆる普通の指数と対数の書き換え問題
そこまで目新しいものは見られない
底の変換公式は必須だろう
〔２〕 「三角関数」
２次的な内容の高いレベルの出題もありうる
和積の公式をテーマにし、その変形途中に三角比の合成をやらせる
角度は確定せず，α，βのまま周期性から判定しなければならないような問題
もちろんある値を満たす角θの求値
第２問 「微分法・積分法」
三次関数の解の存在範囲
定数分離
そこに接線の方程式をからめて面積の求値
傾きの異なる接線が二本引かれる
第３問 「数列」
最初から等差数列や等比数列とかかれているような問題は好ましい出題と思うが，あっさりと公式を利用してほしくはないという意図を感じる。
そのため，最初から漸化式やΣの形での出題をし，分析能力を見る出題がなされるのではないか？その過程で，部分分数に分解するなどの作業力を見る問題
もちろん一般項を類推することで，最初の数問は容易に答えを得られるが，後半は正しい処理を積み重ねておかねば解は得られない形式だろう
第４問 「ベクトル」
空間ベクトルは例年通り踏襲されるだろう
垂直条件による内積＝０の計算
八面体の切断に関する問題
上側の四面体だけで重心などを求めさせた後，下側の四面体に発展させる
---------------------------------------------------------------
さて，どのようになるのか，昨年よりも詳細に想像してみた。
むろん，こんな地方の想像力だけで語っている人の話に何の意味があるか
というと，何もなさそうだけれど好き勝手に書いてみた。
センター問作委員のなかでも，新課程を睨んで，そちら方向に傾向を
変えていった方がいいのではないか？という意見が渦巻きながらも，
いやいや，現課程でも十分良問が作れる，という穏健派の委員が
押し切り，無難に例年を踏襲する形に終わる。と見た。
過去問を利用してもいいよ，という優しいささやきにも，当然，数値まで
全く同じものを出すわけもなく，図は似たようにしてみましょうか，
せっかく過去問利用の許可も出たわけですし，十分当局の意図は
汲みましたよ的なオーラを出しておいた方が，のちのち数学部会としては
意見言いやすいんじゃないの？という（長い！くどい！）大人の判断で，
2000年から2005年ごろの出題に設定が似通ったものも見られる？
あぁ長かった。いっぱい書いてみたけど，生徒らが自分の学習してきたものを
素直に出せるような，変にひねりすぎた出題でなければ良しとします。
教科書の例題程度だっていいじゃないですか。だってそれを学習してきたん
ですよ。作問委員の模試問題検討を進めた結果の良識に期待します。
あと１２時間もすれば，センター試験数学スタートです。
大胆にも，何の役に立つのか不明ですが，更に何の意味があるのか？予想してみました。
昨年は，中ハズシをしてるので，今年は小ハズシで止めたいと思いつつ，
しかし，細かく書いてみました。。。。
自分の中で”雰囲気”を”気分的”に”テキトー”に踏まえて，なんと，今年はコレが出る！
（近日中に，具体的な当たりはずれをお届けいたします。）
-------------------------------------------------------------------
2013センター試験数学 大胆予想
数学ⅠA
第１問
〔１〕 ｢方程式・不等式｣
有理化の複雑なパターン
無理数のおよその値がどういった整数部分と小数部分に分割されるか。たとえば３√３のような，√２７にしなければならないような判断できないようなもの
〔２〕 「集合・論理」
真偽の判定
集合的な要素
数直線上で解決する
絶対値の必要条件，十分条件
第２問 「2次関数」
下に凸な放物線を平行移動し，ｘ軸との交点を求めさせる
判別式で解くか＜頂点のｙ座標で解くか。
ｘ軸との交点の差（距離）が，一定の値以下（たとえば２より小さくなる）となるｋの値の範囲を求めさせる
第３問 「図形と計量・平面図形」
円に内接する四角形
正弦定理と余弦定理の基本的出題
９０°から直径を探させ，新たな円が見える
最後は方べきの定理と相似図形との融合での長さを求めさせる
第４問 「場合の数・確率」
くじ引きと数直線上の動き
いわゆるランダムウォーク
くじ引きで１等なら＋３
２等なら＋２
３等なら＋１
はずれならー１
何回中何回出るかによって様々なパターンを持つ
最終的には期待値で，くじ引きを５回行うときにどの位置にいる可能性が高いか。
数学ⅡB
第１問
〔１〕 「対数関数」
いわゆる普通の指数と対数の書き換え問題
そこまで目新しいものは見られない
底の変換公式は必須だろう
〔２〕 「三角関数」
２次的な内容の高いレベルの出題もありうる
和積の公式をテーマにし、その変形途中に三角比の合成をやらせる
角度は確定せず，α，βのまま周期性から判定しなければならないような問題
もちろんある値を満たす角θの求値
第２問 「微分法・積分法」
三次関数の解の存在範囲
定数分離
そこに接線の方程式をからめて面積の求値
傾きの異なる接線が二本引かれる
第３問 「数列」
最初から等差数列や等比数列とかかれているような問題は好ましい出題と思うが，あっさりと公式を利用してほしくはないという意図を感じる。
そのため，最初から漸化式やΣの形での出題をし，分析能力を見る出題がなされるのではないか？その過程で，部分分数に分解するなどの作業力を見る問題
もちろん一般項を類推することで，最初の数問は容易に答えを得られるが，後半は正しい処理を積み重ねておかねば解は得られない形式だろう
第４問 「ベクトル」
空間ベクトルは例年通り踏襲されるだろう
垂直条件による内積＝０の計算
八面体の切断に関する問題
上側の四面体だけで重心などを求めさせた後，下側の四面体に発展させる
---------------------------------------------------------------
さて，どのようになるのか，昨年よりも詳細に想像してみた。
むろん，こんな地方の想像力だけで語っている人の話に何の意味があるか
というと，何もなさそうだけれど好き勝手に書いてみた。
センター問作委員のなかでも，新課程を睨んで，そちら方向に傾向を
変えていった方がいいのではないか？という意見が渦巻きながらも，
いやいや，現課程でも十分良問が作れる，という穏健派の委員が
押し切り，無難に例年を踏襲する形に終わる。と見た。
過去問を利用してもいいよ，という優しいささやきにも，当然，数値まで
全く同じものを出すわけもなく，図は似たようにしてみましょうか，
せっかく過去問利用の許可も出たわけですし，十分当局の意図は
汲みましたよ的なオーラを出しておいた方が，のちのち数学部会としては
意見言いやすいんじゃないの？という（長い！くどい！）大人の判断で，
2000年から2005年ごろの出題に設定が似通ったものも見られる？
あぁ長かった。いっぱい書いてみたけど，生徒らが自分の学習してきたものを
素直に出せるような，変にひねりすぎた出題でなければ良しとします。
教科書の例題程度だっていいじゃないですか。だってそれを学習してきたん
ですよ。作問委員の模試問題検討を進めた結果の良識に期待します。
2012年12月14日金曜日
2012年8月8日水曜日
インボリュート 伸開線
今日で授業も終了。
ちょっとだけ夏休みにさせていただきます。
この夏は，アニメをたくさん作る授業だった。
「郷中ゼミ」という授業で，どちらかというと難関大学を目指す生徒に
どんだけ頭の中を揺さぶれるか？を意識しながら作成してみた。
（たぶん）誰もやったことのない，グラフをテーマに据えた授業で，
いったいどうなるだろう？と思いながら，やっぱり楽しめた。
ま，いつものことだけど，自分が楽しんで，面白くやりたいなぁ。。。なんて。
きっと，今までとは見える風景が変わってくれるのでは？と信じています。
そのためには，
なぞなぞ
「船は，何人乗ったら傾くか？」
という，ショーもない冗談も，見え方を変える助けになるかも。と考えます。
（答え分かる？？ そのうち更新して，追記しようかな。）
最後は，授業のネタの一つ，インボリュートで終わりましょう。
糸をほどいていくと，それは興味深い曲線です。
ちょっとだけ夏休みにさせていただきます。
この夏は，アニメをたくさん作る授業だった。
「郷中ゼミ」という授業で，どちらかというと難関大学を目指す生徒に
どんだけ頭の中を揺さぶれるか？を意識しながら作成してみた。
（たぶん）誰もやったことのない，グラフをテーマに据えた授業で，
いったいどうなるだろう？と思いながら，やっぱり楽しめた。
ま，いつものことだけど，自分が楽しんで，面白くやりたいなぁ。。。なんて。
きっと，今までとは見える風景が変わってくれるのでは？と信じています。
そのためには，
なぞなぞ
「船は，何人乗ったら傾くか？」
という，ショーもない冗談も，見え方を変える助けになるかも。と考えます。
（答え分かる？？ そのうち更新して，追記しようかな。）
最後は，授業のネタの一つ，インボリュートで終わりましょう。
糸をほどいていくと，それは興味深い曲線です。
2012年2月26日日曜日
2012 鹿児島大学 2次試験（数学）終了
鹿児島大学 2次試験（数学）終了
覚えているうちにコメントを書いておこう。
やっとこさ2次試験が終わった。
実力を発揮できただろうか？
手ごたえはあっただろうか？
準備した学習は役に立っただろうか？
我らが鹿児島大学の入試問題を早速手に入れた。
全てを解いたわけではないが，第一印象を書き残しておく。
１ 小問３つ
（１）同じものが隣り合わない並べ方
問題：K，A，D，A，I ２つのAが隣り合わない
コメント：教科書レベル。それも例題，問レベル ウォーミングアップには適切。
鹿児島大学に入学したいなら，絶対解きたい問題。
（２）２次不等式と３の倍数
問題：２次不等式を満たさない，３の倍数でないものをすべて
コメント：満たさず，でないもの。日本語を正しく捉えられるかどうかだけか。
３に関して，3k，3k+1，3k+2などとすると時間がもったいない。
（３）三角形平面図形
問題：中点と中線で二等辺三角形の証明
コメント：どこかで見たことある気がする。重心とは何かがテーマ。
作図力がポイントか？図にもかなりの部分点がありそう。
２ 指数関数と微分法
問題：2^x+2^-xをtとおき，tの３次関数に持ち込む。
コメント：相加相乗の定番パターンである。文字の変換も，”一度は”では無く，
少なくとも，”数問”は解いたことがあるはず。
定義域を正しく変換し，正しい増減表を作り，正しくlogに戻す必要がある。
３ 平面ベクトル
問題：平面ベクトル 三角形 内積と対称な点
コメント：これも，全く定番の問題で大きなひねりは無く素直な出題である。
対称な点は，垂直条件である，つまり内積が０ということは気づくだろう。
ベクトル絶対値の表記法，適か不適かの判断が，減点対象だろう。
４ 微積，漸化式，極限
問題：eについてのf(x)。部分積分で求値。n+1とnの漸化式ができる。
漸化式から和が∑表現されている。更にその和の極限。
コメント：やはりどこかで見覚えのある出題である。
難しい表現は一切無く，基本的なごく当たり前のオーソドックスな出題である。
部分積分は予想通り出題され，部分分数的な発想が和に適用される。
(1)～(4)までが自然な出題で，流れに乗る（前の結果を利用する）必要がある。
ハサミウチの原理は極限の基本パターンである。
５－１ 行列
問題：行列Aに対して，A^nを求めさせる。
コメント：逆行列を持たないという条件に言い換えることができるか。
問題文に表記は一切無いが，固有値，固有ベクトルを知っているかどうかで，
見通しが一瞬で立つのか，地味にさせられてしまうのか（大学入学後，
あの問題はこれだったのか！と気づくかな？）分かれるだろう。
５－２ 極方程式
問題：r=a/(2+cosθ)に関して，直交座標でかけ。平行移動させよ。一定を証明せよ。
コメント：極方程式は，一見何を言いたいのかが手ごわさを感じさせるところだろう。
しかし，慣れによって，直交座標系に直すのは困難は無く，それらは，
２次曲線（多くは楕円）がテーマになる。問題文は，漢字も多く，（！）
文章自体も他の問題と比較すると，長めである。嫌な感じはするだろう。
最後は扁平率に関する出題になっており，数学的にも面白い。
なお，これから車に乗り，走りに興味が出てくると，タイヤに”へんぺいりつ”
が関わってくる。タイヤに関しては偏平率と書く。扁平率と書くと意味が異なる。
（偏平率とは，サイドウォール部分の幅をタイヤ幅との割合で表したものである。）
５－３ 確率
問題：商品１個で景品１個もらえ，ｎ個の景品とｎ枚のカード。
少なくとも１個…，全種類の景品…。
コメント：文章解釈の問題であろう。カードを引き，景品がもらえる。
なんとも，駄菓子屋的な（イマドキの子は知ってるのか？駄菓子屋？）
出題でほほえましく思えるが，出題としては，ｍ個買ったとき…や
少なくともや，全種類そろわないなど，文字オンパレードの答えが出ても
不安を感じるだろう。
５－４ 確率分布は省略
教育学部の３－２
問題：y=plogxで，囲まれた部分の面積と回転体の体積
コメント：やはり基本的出題であった。logの積分に慣れているか，いないか。
eの扱いをできるか，否か。ホントにそれだけの気もする。
ためらわず，一気に攻め込んでも，慣れた生徒にとっては，１０分で
解き終わってしまうかもしれない。見直し力，計算力を評価だろう。
全体的に
基本的な出題ばかりであった。熊本大学の問題のようにも見えた。
数学力低下が叫ばれる昨今，大学側のメッセージは，基本的なものを
普通に解くことが大切なのですよ。と受け取った。
しかし，いわゆる”受験勉強”した受験生にとっては，過去問や他大学で
出題されたものを深めていくことで，かなりの高得点が得られただろう。
医学部，歯学部あたりでは，”落とせない”問題ばかりだった気がする。
もしかしたら？？高得点での争い＝センターで決着が着いている。
覚えているうちにコメントを書いておこう。
やっとこさ2次試験が終わった。
実力を発揮できただろうか？
手ごたえはあっただろうか？
準備した学習は役に立っただろうか？
我らが鹿児島大学の入試問題を早速手に入れた。
全てを解いたわけではないが，第一印象を書き残しておく。
１ 小問３つ
（１）同じものが隣り合わない並べ方
問題：K，A，D，A，I ２つのAが隣り合わない
コメント：教科書レベル。それも例題，問レベル ウォーミングアップには適切。
鹿児島大学に入学したいなら，絶対解きたい問題。
（２）２次不等式と３の倍数
問題：２次不等式を満たさない，３の倍数でないものをすべて
コメント：満たさず，でないもの。日本語を正しく捉えられるかどうかだけか。
３に関して，3k，3k+1，3k+2などとすると時間がもったいない。
（３）三角形平面図形
問題：中点と中線で二等辺三角形の証明
コメント：どこかで見たことある気がする。重心とは何かがテーマ。
作図力がポイントか？図にもかなりの部分点がありそう。
２ 指数関数と微分法
問題：2^x+2^-xをtとおき，tの３次関数に持ち込む。
コメント：相加相乗の定番パターンである。文字の変換も，”一度は”では無く，
少なくとも，”数問”は解いたことがあるはず。
定義域を正しく変換し，正しい増減表を作り，正しくlogに戻す必要がある。
３ 平面ベクトル
問題：平面ベクトル 三角形 内積と対称な点
コメント：これも，全く定番の問題で大きなひねりは無く素直な出題である。
対称な点は，垂直条件である，つまり内積が０ということは気づくだろう。
ベクトル絶対値の表記法，適か不適かの判断が，減点対象だろう。
４ 微積，漸化式，極限
問題：eについてのf(x)。部分積分で求値。n+1とnの漸化式ができる。
漸化式から和が∑表現されている。更にその和の極限。
コメント：やはりどこかで見覚えのある出題である。
難しい表現は一切無く，基本的なごく当たり前のオーソドックスな出題である。
部分積分は予想通り出題され，部分分数的な発想が和に適用される。
(1)～(4)までが自然な出題で，流れに乗る（前の結果を利用する）必要がある。
ハサミウチの原理は極限の基本パターンである。
５－１ 行列
問題：行列Aに対して，A^nを求めさせる。
コメント：逆行列を持たないという条件に言い換えることができるか。
問題文に表記は一切無いが，固有値，固有ベクトルを知っているかどうかで，
見通しが一瞬で立つのか，地味にさせられてしまうのか（大学入学後，
あの問題はこれだったのか！と気づくかな？）分かれるだろう。
５－２ 極方程式
問題：r=a/(2+cosθ)に関して，直交座標でかけ。平行移動させよ。一定を証明せよ。
コメント：極方程式は，一見何を言いたいのかが手ごわさを感じさせるところだろう。
しかし，慣れによって，直交座標系に直すのは困難は無く，それらは，
２次曲線（多くは楕円）がテーマになる。問題文は，漢字も多く，（！）
文章自体も他の問題と比較すると，長めである。嫌な感じはするだろう。
最後は扁平率に関する出題になっており，数学的にも面白い。
なお，これから車に乗り，走りに興味が出てくると，タイヤに”へんぺいりつ”
が関わってくる。タイヤに関しては偏平率と書く。扁平率と書くと意味が異なる。
（偏平率とは，サイドウォール部分の幅をタイヤ幅との割合で表したものである。）
５－３ 確率
問題：商品１個で景品１個もらえ，ｎ個の景品とｎ枚のカード。
少なくとも１個…，全種類の景品…。
コメント：文章解釈の問題であろう。カードを引き，景品がもらえる。
なんとも，駄菓子屋的な（イマドキの子は知ってるのか？駄菓子屋？）
出題でほほえましく思えるが，出題としては，ｍ個買ったとき…や
少なくともや，全種類そろわないなど，文字オンパレードの答えが出ても
不安を感じるだろう。
５－４ 確率分布は省略
教育学部の３－２
問題：y=plogxで，囲まれた部分の面積と回転体の体積
コメント：やはり基本的出題であった。logの積分に慣れているか，いないか。
eの扱いをできるか，否か。ホントにそれだけの気もする。
ためらわず，一気に攻め込んでも，慣れた生徒にとっては，１０分で
解き終わってしまうかもしれない。見直し力，計算力を評価だろう。
全体的に
基本的な出題ばかりであった。熊本大学の問題のようにも見えた。
数学力低下が叫ばれる昨今，大学側のメッセージは，基本的なものを
普通に解くことが大切なのですよ。と受け取った。
しかし，いわゆる”受験勉強”した受験生にとっては，過去問や他大学で
出題されたものを深めていくことで，かなりの高得点が得られただろう。
医学部，歯学部あたりでは，”落とせない”問題ばかりだった気がする。
もしかしたら？？高得点での争い＝センターで決着が着いている。
2012年1月16日月曜日
2012センター試験数学 その結果！！
さて，終わりました。
大胆な予想の結果をお届けです。
なんと，そーなるわけーーー！との驚きと怒りも含む，
何の意味があったか，まだ不明なその結果。
何の意味があったかは，もう少ししたら歴史が意味を与えてくれる・・・かも。
-----------------------------------------------------------------------------
数学①の数学ⅠＡ・・・・難易度：普通問題，昨年と変わらず------------○あたり まぁそんなもの
円と内接する四角形-----------------×はずれ 三角形の内接円
なんと同心円----------------------×はずれ 円が二つ無いわけではないが。。。
角2等分で辺の比に分割-------------×はずれ
方べきの定理で面積に続く-------------△まあまぁ 方べきと面積
確率はさいころ----------------×はずれ 数字カード
箱から４回，順に玉をとる-----------×はずれ 同時に取り出す
実は３回目のとり方で４回目にＢ箱かＣ箱か決める-----------×はずれ
期待値は，得点を減ずるマイナスタイプ--------------×はずれ ｋ番目でｋ点
二次関数
上に凸------------------◎あたり -ｘ＾２
頂点が最大値か，端点が最大値か，Ｍの値----------△まあまぁ 最小値もあり
-----------------------------------------------------------------------------
数学②の数学ⅡＢ・・・・・難易度：昨年よりはちょっとカンタン-----------×はずれ 灘化
数列は群数列------------------------×はずれ 等差数列
それも，部分分数でシグマの和----------------× 漸化式
ベクトルは空間----------------◎あたり
三角錐-----------------△まぁまぁ そんな単純でない
断面が直角三角形 内積０---------------×はずれ
三平方の定理-------------------×はずれ
logは，積が和---------------△まぁまぁ logではある。
ｘｙがａ＋ｂのパターン------------×はずれ 底＜１の不等式
３次関数のグラフ------------◎あたり 単にｙ＝ｘ＾３
接線（あたりまえ）--------------◎あたり ｙ＝ｘ＾３上の接線
－ｘ３乗と＋ｘ３乗の二つのグラフ-------------×はずれ 三次関数と二次関数
面積比較
加法定理と倍角公式（あたりまえ）---------------○まぁあたりまえ
α＋β と ２α＋２β--------------△まぁまぁ αと２β
合成して周期------------------×はずれ 周期は聞かれず
-----------------------------------------------------------------------------
という感じの，まーはずしまくり。。。。
それにしても，ⅡBの難度アップには，驚きです。
ひょっとすると過去最低の平均点をたたき出す可能性も否定できません。
ⅠＡとⅡＢのギャップには，何の意味があるのか，考えちゃいますね
問題作成委員会も，昨年のＯＢ委員会も，ちゃんと機能しているのでしょうか？
こんなに時間内に終わらないセットを出題して，何力を試しているのでしょうか？
平均点が，年によって１０点以上も差が出るなんて，問題作成者が，
受験生の状況を把握していない証拠ではないのでしょうか？
と，つらつらと恨みを書きましたが，この続きはそのうち書きましょう。。。。
とりあえず，予想の答えはここまで。予想ってのも，難しいなぁ。。。
大胆な予想の結果をお届けです。
なんと，そーなるわけーーー！との驚きと怒りも含む，
何の意味があったか，まだ不明なその結果。
何の意味があったかは，もう少ししたら歴史が意味を与えてくれる・・・かも。
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数学①の数学ⅠＡ・・・・難易度：普通問題，昨年と変わらず------------○あたり まぁそんなもの
円と内接する四角形-----------------×はずれ 三角形の内接円
なんと同心円----------------------×はずれ 円が二つ無いわけではないが。。。
角2等分で辺の比に分割-------------×はずれ
方べきの定理で面積に続く-------------△まあまぁ 方べきと面積
確率はさいころ----------------×はずれ 数字カード
箱から４回，順に玉をとる-----------×はずれ 同時に取り出す
実は３回目のとり方で４回目にＢ箱かＣ箱か決める-----------×はずれ
期待値は，得点を減ずるマイナスタイプ--------------×はずれ ｋ番目でｋ点
二次関数
上に凸------------------◎あたり -ｘ＾２
頂点が最大値か，端点が最大値か，Ｍの値----------△まあまぁ 最小値もあり
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数学②の数学ⅡＢ・・・・・難易度：昨年よりはちょっとカンタン-----------×はずれ 灘化
数列は群数列------------------------×はずれ 等差数列
それも，部分分数でシグマの和----------------× 漸化式
ベクトルは空間----------------◎あたり
三角錐-----------------△まぁまぁ そんな単純でない
断面が直角三角形 内積０---------------×はずれ
三平方の定理-------------------×はずれ
logは，積が和---------------△まぁまぁ logではある。
ｘｙがａ＋ｂのパターン------------×はずれ 底＜１の不等式
３次関数のグラフ------------◎あたり 単にｙ＝ｘ＾３
接線（あたりまえ）--------------◎あたり ｙ＝ｘ＾３上の接線
－ｘ３乗と＋ｘ３乗の二つのグラフ-------------×はずれ 三次関数と二次関数
面積比較
加法定理と倍角公式（あたりまえ）---------------○まぁあたりまえ
α＋β と ２α＋２β--------------△まぁまぁ αと２β
合成して周期------------------×はずれ 周期は聞かれず
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という感じの，まーはずしまくり。。。。
それにしても，ⅡBの難度アップには，驚きです。
ひょっとすると過去最低の平均点をたたき出す可能性も否定できません。
ⅠＡとⅡＢのギャップには，何の意味があるのか，考えちゃいますね
問題作成委員会も，昨年のＯＢ委員会も，ちゃんと機能しているのでしょうか？
こんなに時間内に終わらないセットを出題して，何力を試しているのでしょうか？
平均点が，年によって１０点以上も差が出るなんて，問題作成者が，
受験生の状況を把握していない証拠ではないのでしょうか？
と，つらつらと恨みを書きましたが，この続きはそのうち書きましょう。。。。
とりあえず，予想の答えはここまで。予想ってのも，難しいなぁ。。。
2012年1月15日日曜日
2012センター試験数学 大予想！
あと１２時間もすれば，センター試験数学スタートです。
大胆にも，（なんの役に立つのか不明ですが）予想してみました。
これまでの傾向，難易度を自分の中で”雰囲気”を”気分的”に”テキトー”に
踏まえて，なんと，今年はコレが出る！
（明日の夜には，具体的な当たりはずれをお届けいたします。）
-----------------------------------------------------------------------------
数学①の数学ⅠＡ・・・・難易度：普通問題，昨年と変わらず
円と内接する四角形
なんと同心円
角2等分で辺の比に分割
方べきの定理で面積に続く
確率はさいころ
箱から４回，順に玉をとる
実は３回目のとり方で４回目にＢ箱かＣ箱か決める
期待値は，得点を減ずるマイナスタイプ
二次関数
上に凸
頂点が最大値か，端点が最大値か，Ｍの値
-----------------------------------------------------------------------------
数学②の数学ⅡＢ・・・・・難易度：昨年よりはちょっとカンタン
数列は群数列
それも，部分分数でシグマの和
ベクトルは空間
三角錐
断面が直角三角形 内積０
三平方の定理
logは，積が和
ｘｙがａ＋ｂのパターン
３次関数のグラフ
接線（あたりまえ）
－ｘ３乗と＋ｘ３乗の二つのグラフ
面積比較
加法定理と倍角公式（あたりまえ）
α＋β と ２α＋２β
合成して周期
-----------------------------------------------------------------------------
なんちゅーよーなことを，徒然なるままに書きました。
最近は，本質を問うような良質な問題が増えている気がします。
あぁ，予想なんてどうでもよくて，実力を発揮してくれることを
祈っているだけです。
今までやってきたことを組み合わせるだけなんだよ。みんな！
小手先じゃ無いんだよ，本質だよ。 みんな！ガンバレ！
もう２時になる。寝なきゃマズイ。
明日の夜には，お恥ずかしいことになっているのかもしれません・・・・
大胆にも，（なんの役に立つのか不明ですが）予想してみました。
これまでの傾向，難易度を自分の中で”雰囲気”を”気分的”に”テキトー”に
踏まえて，なんと，今年はコレが出る！
（明日の夜には，具体的な当たりはずれをお届けいたします。）
-----------------------------------------------------------------------------
数学①の数学ⅠＡ・・・・難易度：普通問題，昨年と変わらず
円と内接する四角形
なんと同心円
角2等分で辺の比に分割
方べきの定理で面積に続く
確率はさいころ
箱から４回，順に玉をとる
実は３回目のとり方で４回目にＢ箱かＣ箱か決める
期待値は，得点を減ずるマイナスタイプ
二次関数
上に凸
頂点が最大値か，端点が最大値か，Ｍの値
-----------------------------------------------------------------------------
数学②の数学ⅡＢ・・・・・難易度：昨年よりはちょっとカンタン
数列は群数列
それも，部分分数でシグマの和
ベクトルは空間
三角錐
断面が直角三角形 内積０
三平方の定理
logは，積が和
ｘｙがａ＋ｂのパターン
３次関数のグラフ
接線（あたりまえ）
－ｘ３乗と＋ｘ３乗の二つのグラフ
面積比較
加法定理と倍角公式（あたりまえ）
α＋β と ２α＋２β
合成して周期
-----------------------------------------------------------------------------
なんちゅーよーなことを，徒然なるままに書きました。
最近は，本質を問うような良質な問題が増えている気がします。
あぁ，予想なんてどうでもよくて，実力を発揮してくれることを
祈っているだけです。
今までやってきたことを組み合わせるだけなんだよ。みんな！
小手先じゃ無いんだよ，本質だよ。 みんな！ガンバレ！
もう２時になる。寝なきゃマズイ。
明日の夜には，お恥ずかしいことになっているのかもしれません・・・・
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