新作問題 2013バージョン

いよいよ二次試験（前期日程）である。

これまで，1月のセンター試験を乗り越え，1月末から2月には二次対策を順調に終え，
ホントの試験が，明日に迫ってきた。

みんなの合格を祈りたい。


さて，
先日，予想問題を作成して，新作で「結構」「素敵」なものが出来上がったのでアピールする。

ぜーったいどこかの大学で，明日出題されてると思うけどなぁ・・・

【問題】～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

　4人が無作為に数字を一つずつ千の位，百の位，十の位，一の位の順に言い
4桁の整数を作る。全員が異なる数字で，2001に最も近い整数は何か答えよ。
また，100! はその整数で割り切れるか調べよ。

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【いきさつ】

対策授業をやっていて，最後にテストをやろうかと考え，新作問題を考えていた。
ふと，よく出る問題で，今年の西暦を利用した問題を考えてみた。
整数問題によく使われる素材である。


【私の頭の中の流れ】

なんだか，2013は素数っぽさがあるけれど，
桁をすべて足し合わせると 2+0+1+3=6 と3の倍数になり，3で割り切れ，
素数ではないことがすぐに分かる。
その商がやたら大きい素数なら面白くもないが，3で割ると671となる。
671ってのは，660+11ぐらいは，なんとか考えられるかも？
11で割り切れることも，ちょっと考えればなんとか分かるんじゃない？。
671を11で割ると61の素数だ。つまり、2013の素因数分解は 3×11×61 だ。

さて，これをどう扱うか。
因数分解させて，3と11と61の積から満たす自然数の組，って方針も良さそうだが・・・

まてよ，
2013ってのは，全部異なる数字だなぁ
他に異なる数字って何だ？
2014は当たり前だけど，その前は？
2012も2011も2010も
200*は，全部だめ
199*はだめ
チューことは，198*だ。

ん？対称性もありそうな予感。2000の前後はどうだ？
お！意外に面白そうな感じ。

じゃ，簡単に異なる数を探させといて，約分可能性にしちゃおうかな？

ってな感じの思考回路。


【おまけ】

大きな素数同士による合成数の素因数分解は非常に困難である。
これを利用して多くの暗号アルゴリズムにおいて，大きな素数による合成数が利用されている。
公開鍵と秘密鍵と言われているアレだ。

大きな素数といえばメルセンヌ素数が有名だ。
先日，新巨大素数が見つかったとのニュース報道もあった。
マラン・メルセンヌは，2^n-1 に対してnが257以下のとき、n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257のときにのみ素数となると考えたが，一部に間違いがあることが分かり，n = 61, 89, 107のときも素数であり，しかし，n = 67, 257のときは，素数ではなく合成数であった。
特に，素数であるメルセンヌ数をメルセンヌ素数（Mersenne prime）という。

数学的に，

「Mn が素数ならば n は素数である」が，「n が素数であっても Mn は素数とは限らない。」
　（逆は必ずしも真ならずの良い例である。）
前者の対偶である命題「n が合成数ならば Mn は合成数である」は，次の式から示される。
2＾ab − 1 = (2＾a − 1){1 + 2＾a + 2＾2a + ... + 2＾(b−1)a}
　（これは簡単に理解できる面白さがある。）

という性質は，重要である。




念のため，2013のチェックも行った。

WolframAlpha　のサイトは，面白い。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2013

【解答】～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

　2000の前後では，1987と2013がいえるが，2001に最も近いのは，2013である。
また，2013＝3×11×61であるため，100! を約分することができ，割り切れる。

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以上。