ab+bc+ca-1 が abc で割り切れるとき、整数 a,b,c を定めよ。

2011年2月15日にFacebookで投稿した問題を再掲



問 ： ab+bc+ca-1 が abc で割り切れるとき、整数 a,b,c を定めよ。

ただし、1<a<b<c とする。

っていう問題製作中です。整数問題は難しいなぁ。。。



Makoto Miyahara氏の解答を再掲

ab+bc+ca-1=kabc（kは正整数）…①
と表せる。このとき、
ab+bc+ca-1≧abc　かつ　bc＞ca＞ab​　より、
3bc-1＞abc　よって　bc(3-a)>0 　∴a＜3
a≧2の整数から、a=2
これと①より、
bc+2b+2c-1=2kbc　…②
このとき、bc+2b+2c-1≧2bc　から　(b-​2)(c-2)≦3で、
かつ1≦b-2≦c-2であることから、
b=3で、c=4または5
(a,b,c)=(2,3,4)は条件①を満たさず、
(a,b,c)=(2,3,5)は条件①を満たすので、
求める値は、(a,b,c)=(2,3,5)